Estimación de datos acumulados (englobados) de precipitación

Recientemente, lei que uno de los aspectos más trabajosos y engorrosos de la climatología era la estimación de datos faltantes y englobados. Analizando la desagregación de datos mensuales de precipitación para una estación, en una referencia clásica sobre el tema, me pude percatar que al resolver el problema de manera manual, lo hacían por sustituciones sucesivas determinando innecesariamente valores intermedios. Si se sistematiza el procedimiento tratando de generalizar el problema, este se reduce a resolver un sistema lineal sin determinar previamente valores intermedios. El sistema lineal a resolver incluye obligatoriamente el balance correspondiente al englobe y N-1 ecuaciones linealmente independientes (de las N posibles que entre si son linealmente dependientes) que relacionan las precipitaciones medias mensuales con las precipitaciones mensuales a determinar agrupadas por pares de meses. Para tres meses, por ejemplo, puede demostrarse que uno de los posibles sistemas a resolver es:

P1 + P2 + P3 = valor del englobe

N2*P1 - N1*P2 + 0 = 0

N3*P1 + 0 - N1*P3 = 0

donde los Ni corresponden a los valores medios mensuales y los Pi representan los valores mensuales, para un año en particular, a determinar. Para una estación específica se reporta, entre los meses de Agosto a Octubre (3 meses) del año 1966, un englobe de 608.9 mm con valores medios de 111.5, 137.1 y 171.7 mm, respectivamente. Uno de los posibles sistemas lineales a resolver sería:

P1 + P2 + P3 = 608.9

137.1*P1 - 111.5*P2 + 0 = 0

171.7*P1 + 0 - 111.5*P3 = 0

Usando la versión del programa que se encuentra aquí:

Resolucion de sistemas lineales por el metodo de Gauss-Jordan: C++ Linux

es fácil obtener, en pocos segundos, el resultado; que concuerda con el referido en la publicación. Por tanto, P1 = 161.5, P2 = 198.6 y P3 = 248.7 los cuales suman el valor englobado.

La desagregación diaria sería un poco mas trabajosa de abordar porque se requerirían los valores medios diarios para un año juliano de 366 días y, por otra parte, los valores agregados diarios son generalmente algo mayores que 3. Sin embargo, como se reservó memoria dinámica en el programa anterior la única preocupación sería relativa a si el sistema líneal que resulte está bien conformado. Cuando se trabaja en este campo, con mucha probabilidad ya se tiene elaborado algún programa que pueda servir de “plantilla” (template), con sólo pequeñas modificaciones, para determinar los valores medios diarios para un año juliano de 366 días. Efectivamente así es. Vamos a ver como lo podemos usar para probar la desagregación diaria. Para una estación para la cual poseo datos diarios, selecciono al azar un lote de 10 datos en un año específico.

Supongamos que el día 195 corresponde al englobe, entonces tendríamos esta situación:

1970 186 *
1970 187 *
1970 188 *
1970 189 *
1970 190 *
1970 191 *
1970 192 *
1970 193 *
1970 194 *
1970 195 80.3

Los valores medios (serie de 25 años de datos entre 1970 y 1994; 9131 valores) obtenidos con el programa ya mencionado para esos días fue:

186 12.2
187 5.3
188 4.1
189 7.3
190 7.2
191 9.0
192 14.1
193 6.1
194 12.0
195 7.2

Entonces el sistema lineal a resolver sería:

P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 + P9 + P10 = 80.3

5.3*P1 - 12.2*P2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

4.1*P1 + 0 - 12.2*P3 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

7.3*P1 + 0 + 0 - 12.2*P4 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

7.2*P1 + 0 + 0 + 0 -12.2*P5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

9.0*P1 + 0 + 0 + 0 + 0 - 12.2*P6 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

14.1*P1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 12.2*P7 + 0 + 0 + 0 = 0

6.1*P1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 -12.2*P8 + 0 + 0 = 0

12.0*P1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 -12.2*P9 + 0 = 0

7.2*P1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 -12.2*P10 = 0

El resultado obtenido para este sistema es:

P1 = 11.6

P2 = 5.0

P3 = 3.9

P4 = 6.9

P5 = 6.8

P6 = 8.6

P7 = 13.4

P8 = 5.8

P9 = 11.4

P10 = 6.8

Lo que señala que la estructura del desenglobe no tiene nada que ver con los valores reales sino con su valores medios y lo que no se midió en su oportunidad se perdió para siempre. Sin embargo, es importante señalar que la suma de valores medios (84.5) es muy similar al englobe (80.3) por lo que una diferencia (que en este caso es del 5 %) marcada entre ellos puede servir como base para señalar si la magnitud del englobe es confiable o no. La tolerancia, por lo que he podido leer al respecto, está generalmente en el orden del 10 %.

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