Planos y rectas con gnuplot

Me animo a escribir estas líneas a raíz de un comentario emitido en la TV española en el cual se señalaba que el alto índice de fracaso en las pruebas de Selectividad en matemáticas se debía a una pobre comprensión lectora. Si ello fuese así se debería extender a todas las disciplinas allí contempladas; pero desconozco si esa extrapolación es cierta. Lo que si parece ser cierto es que las matemáticas tienen un “lenguaje propio”, muy diferente del formal, que si no se entiende adecuadamente los resultados van a ser desastrosos.

Por ejemplo, si se toman todas las pruebas de matemáticas para el lapso 2005-2013, se observa que uno de los tópicos más considerados es el de la geometría analítica del espacio; donde las ecuaciones implícitas, vectoriales y paramétricas de rectas y planos se utilizan indistintamente. Después de tanto tiempo de haber visto por última vez estos tópicos y empeñado en resolver primero los casos más complicados, me di cuenta que los más sencillos, los rara vez contemplados en los problemas eran los que se me dificultaban para resolver.

Señalo que las ideas intuitivas aparentemente las tenía claras, es decir, cosas al estilo de “por dos puntos pasa sólo una recta” o “se requieren dos vectores linealmente independientes para generar un plano”, sin embargo, la primera dificultad surgió precisamente cuando el problema se refería “al plano horizontal”; sin ninguna mención explícita a una posible ecuación del tipo Ax + By + Cz + D = 0. Confieso que mi primer impulso fue el de escribir la “posible ecuación” de éste como x + y = 0; basada en la referencia al plano xy considerada en la geometría analítica plana. Sin embargo, por qué no x – y = 0? Con esta contradicción y pensando que para generar la ecuación implícita del plano se requiere efectuar el producto vectorial de dos vectores linealmente independientes (por ejemplo, los unitarios i, j para los ejes x,y; respectivamente), se desprende inmediatamente que esta ecuación es z = 0 (que coincidía con el de las pautas de corrección de la prueba).

Ahora pasemos a considerar como gnuplot nos puede ayudar a comprender estos conceptos. Si z = 0 entonces f(x,y) = 0, la cual graficada en gnuplot, con splot 0, debería ser el plano horizontal que pasa por z = 0; tal como se observa en la gráfica siguiente:

gnuplot1

Sin embargo, otra forma de representar el plano sería a través de sus ecuaciones paramétricas. Para el caso precedente se tendría x = u, y = v, z = 0. Después de set parametric en gnuplot, el comando splot u,v,0 produce una gráfica equivalente a la anterior:

gnuplot2

Ahora, a que corresponden los planos x + y = 0 y x – y = 0 considerados erróneamente al principio? Si no pueden expresarse como z = f(x,y) entonces deben ser planos verticales que incluyen el eje z como una de sus infinitas rectas. Las ecuaciones paramétricas de x + y = 0 son x = u, y = -u, z = v y de x – y = 0 son x = u, y = u, z = v; los cuales graficados con gnuplot, ambos en una misma gráfica con splot u,-u,v,u,u,v, confirman lo ahora previsto. También se observa que los planos están inclinados con relación a los planos x = 0 y y = 0 (el eje de rotación es el z). Esa rotación debe ser de 45 º y ambos son perpendiculares entre si (el producto escalar de sus vectores normales es cero: 1.1 + 1.(-1) + 0.0 = 0).

gnuplot3

Sólo resta ver si los planos x + y = 0 y x – y = 0 representan la recta que corresponde al eje z. Como recta expresada de manera continua, el eje z sería:

recta

donde el vector director es el unitario (0,0,1) y el parámetro es u. Esto resulta en las siguientes ecuaciones paramétricas: x = 0, y = 0, z = u; precisamente las mismas cuando se parametriza la recta considerando los planos x + y = 0 y x – y = 0 (sistema compatible determinado con dos variables): 2x = 0, es decir, x = 0, y = 0 (que son suficiente para definir la recta sin necesidad de x + y = 0 y x – y = 0), z = u. Añadiendo la recta que falta en gnuplot, con splot u,-u,v,u,u,v,0,0,u, se obtiene la imagen siguiente:

gnuplot4

tal como se previó. Por otra parte, si quiero una recta vertical (paralela al eje z) centrada, por ejemplo, en (3,-2,-3) tendríamos la siguiente ecuación paramétrica: x=3, y=-2, z=u; lo cual se puede verificar que así es con gnuplot. En la imagen siguiente está el comando isosamples necesario para que cada plano se dibuje apenas con cuatro líneas. También ha sido rotado el sistema (teclas del cursor) para una mejor visualización.

gnuplot5

En un próximo artículo consideraremos los planos y rectas que en su forma implícita incluyen las coordenadas x,y,z.

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