Salidas vistosas de planos y rectas con gnuplot y gimp

En los dos artículos anteriores he plasmado mi atención en el uso de gnuplot como una herramienta didáctica para resolver problemas de geometría analítica en el espacio. Me ha impresionado las salidas vistosas que ha obtenido Hagen Wierstorf con su uso. Sin embargo, es muy laboriosa la colocación de etiquetas en los sitios adecuados; máxime cuando se requiere rotar la imagen con las teclas del cursor a fin de lograr la mejor perspectiva que conlleve a una resolución expedita de problemas. Por ello, el uso de gnuplot puede combinarse con un programa manipulador de imágenes, tal como el gimp, a fin de colocar las etiquetas en los sitios adecuados.

Con el fin de comprobar su viabilidad, me propuse a buscar una solución “visual” a un problema que tiene una solución analítica como el de encontrar la ecuación general de los planos, es decir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0, que contienen la recta delimitada por los planos y = 2, z = 1 y que forman un ángulo de 45 º con el plano z = 0. La ecuación paramétrica de la recta es x = u, y = 2, z = 1 que conlleva inmediatamente a señalar que su vector director es (1,0,0) y un punto de la recta, escogido convenientemente para que también sea común a ambos planos, es el (0,2,1). Esto significa que A = 0 y las ecuaciones de los planos se reducen a la forma By + Cz + D = 0.

Para que los planos solicitados y el plano z = 0 formen un ángulo de 45 º esto también será válido para sus vectores normales. El plano z = 0 tiene el vector normal (0,0,1) y los planos los vectores (0,B,C) y (0,B’,C’); respectivamente.

norma

Si asumimos que B = 1 tenemos que C = 1 y C = -1. Por tanto, los dos planos corresponden a y + z + D = 0, y – z + D = 0. Como el punto (0,2,1) es común a ambos planos D = -3 y D = -1; respectivamente por lo que, finalmente:

    y + z = 3

    y – z = 1

Esta solución analítica puede también ser visualizada de dos maneras a partir de una gráfica que produje con la acción combinada de gnuplot y gimp; tal como se observa en la siguiente imagen.

planos

La recta (y = 2, z = 1) se observa a la derecha en rojo y su director, también en rojo, a la izquierda. Este director de la recta también lo es para los planos pero para estos últimos se requiere uno adicional para cada uno. Como la recta está incluida en el plano z = 1, que es paralelo a z = 1 en una unidad, entonces los planos requeridos que incluyen a la recta deben reflejar un incremento de una unidad en el eje y a partir del punto (0,2,0). Estos puntos son (0,1,0) para p1 y (0,3,0) para p2. En consecuencia, los directores del plano que faltan son (0,1,1) y (0,-1,1); respectivamente. Los planos, en forma implícita, serán el resultado de resolver los determinantes siguientes:

norma2

que producen los planos ya obtenidos previamente. Por otra parte, otra manera de resolver el problema es observando los directores de los planos que se encuentran a la derecha. El (0,1,1) es el normal de p2 y el (0,-1,1) es el de p1. Para p2 entonces y + z – D = 0 y para p1 – y + z – D = 0. Como (0,2,1) es común a ambos entonces los planos buscados son:

y + z = 3, y – z = 1; respectivamente.

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