Ajuste de gráficos de ecuaciones paramétricas x = f(t), y = f(t) con curvas paramétricas

En el libro de James Stewart, Multivariable Calculus, existe un ejercicio en el cual se solicita el ajuste de gráficos de ecuaciones paramétricas x = f(t), y = f(t) con curvas paramétricas, tal como se indica en la imagen siguiente, señalando las razones de la elección:

stewart

Para el caso (a), cuando el parámetro varía entre [0,1], el rango de x es [1,2] y el de y es [-1,1]. Sólo con este hecho se puede ajustar la elección a la gráfica paramétrica número III. Para verificar si es compatible la elección se observa que la parte superior de la curva es obtenida cuando se varía el parámetro entre [0,1/2] y se alcanza un máximo para el valor de 1/4. La parte inferior se traza cuando el parámetro varía entre [1/2,1] y el mínimo se alcanza para el valor de 3/4. Ya no hay duda de la elección. Para verificarla se va a utilizar gnuplot. La expresión funcional de x es x(t) = -4t2 + 4t + 1 y la de y es y(t) = sen(2πt). Ejecutando este código en cónsola para gnuplot:

#!/usr/bin/gnuplot

set terminal wxt persist

set parametric
unset key

set xtics 1
set ytics 1

set size ratio -1
set trange[0:1]

plot -4*t**2+4*t+1,sin(2*pi*t)

se obtiene la gráfica siguiente que comprueba nuestra elección:

grafica1

Para el caso (b) el rango de x es [-2,2] al igual que para y. Eso excluye inmediatamente la gráfica de IV. El patrón periódico permite escoger como la gráfica paramétrica de ajuste la I. Como x(t) = 2sen(4tπ) y y(t) = 2sen(6tπ), entonces la ejecución de este código en gnuplot:

#!/usr/bin/gnuplot

set terminal wxt persist

set parametric
unset key

set xtics 1
set ytics 1
set samples 2000

set size ratio -1
set trange[0:1]

plot 2*sin(4*pi*t),2*sin(6*pi*t)

permite verificar que la selección fue la correcta:

grafica2

La opción (c) sólo permite que el rango de y sea positivo por lo que de las dos opciones restantes la lógica es la IV. Esta curva paramétrica comienza a “devolverse” cuando se alcanza el primer máximo de x(t)y sus valores se hacen negativos cuando los de la ecuación paramétrica x(t) también lo hace. Para verificar si la elección es correcta se observa que x(t) se parece (obviamente no es igual) a −2sen((3π/4)t) y y(t) es la porción superior de un círculo de radio 2, es decir, sqrt(4 -t2). Con la ejecución del código siguiente:

#!/usr/bin/gnuplot

set terminal wxt persist

set parametric
unset key

set xtics 1
set ytics 1
set samples 2000

set size ratio -1
set trange[-2:2]

plot -2*sin((3.0*pi/4)*t),sqrt(4-t**2)

se obtiene una imagen parecida a IV que señala como buena la elección:

grafica3

Finalmente, se tiene que la (d) se empareja con la II pero no se justifica la elección.

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