Operaciones con matrices, polinomios y números en GeoGebra

En los dos posts anteriores se comenzó a explorar las inmensas posibilidades de trabajo que mantiene el software libre GeoGebra en cuanto a sus aplicaciones en la geometría, el álgebra y el cálculo. Una de sus limitaciones estaba en el hecho de que no se podía trabajar en 3D (de allí a que usara gnuplot) pero, desde hace algún tiempo, existen versiones beta multiplataforma (Windows, Mac y Linux) que lo permiten y, lo mejor de todo, es que no requieren instalación en el sistema porque son portables (siempre que se tenga Java instalado en el sistema).

Existen muchos cursos básicos de iniciación a GeoGebra donde se enfatizan principalmente sus bondades geométricas, sin embargo, se pueden intuir muchas de sus aplicaciones útiles simplemente ojeando la “Ayuda de Entrada” que se despliega en la ventana lateral derecha de la vista Gráfica. Con base en lo anterior me di a la tarea de explorar algunas operaciones con matrices, polinomios y números que conllevan menos esfuerzo que hacerlo en una hoja de cálculo (recuerden que GeoGebra es portable, Java está normalmente instalado en nuestro sistema y las hojas de cálculo pertenecen a una suite ofimática pesada y que debe licenciarse aparte; como en el caso de Office) o no se han implementado para ellas.

En el caso de matrices, supongamos que se quiere calcular la inversa y el determinante de la siguiente matriz simétrica (sistema bien condicionado y con determinante diferente de cero):

    1 2 3
    2 1 4
    3 4 1

Para ello, ejecutamos GeoGebra, cerramos la vista Gráfica, abrimos la de hoja de cálculo y copiamos la matriz anterior en las celdas; tal como se observa en la siguiente imagen:

matriz1

Después de hacer click en Crea aparece desplegada la matriz en la vista algebraica:

matriz2

Para determinar la inversa basta con colocar en la Entrada (línea de comandos en la parte inferior de GeoGebra) matriz2=matriz1-1, Enter, para tenerla ya a la disposición en la vista algebraica:

matriz3

Como sabemos que el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad probamos ésto colocando en la entrada matriz3=matriz1*matriz2, Enter, obteniendo:

matriz4

Con Determinante[matriz1] en la Entrada, Enter, se obtiene el determinante de la matriz1 (valor igual a 20) y de manera similar el da la matriz 2 (0.05, es decir, el inverso de 20).

Para las operaciones con polinomios colocamos en la entrada:

    f(x)=x2+5x+6

y después de Enter se despliega en las vistas algebraica y gráfica. En esta última se puede observar que tiene dos raíces: -2 y -3. Por tanto, su factorización sería (x+2).(x-3). Esta factorización puede ser obtenida en GeoGebra con Factoriza[f(x)] en la Entrada (línea de comando) y aparece en la vista algebraica, en este caso, como g(x)=(x+2).(x-3); ver siguiente imagen:

matriz5

Entonces, f(x) es obviamente divisible por los polinomios x-2 o x-3. Si en la Entrada se coloca División[f(x),x+2] y se efectua el comando, se obtiene una lista de dos términos donde el primero es el polinomio cociente y el segundo es el resto(x); cero en este último caso. Si se arrastra la lista1 con el ratón hacia la hoja de cálculo, se despliega en celdas independientes cada uno de los miembros de la lista. Por tanto, se puede copiar en la entrada y graficarlo como una función h(x); tal como se ve en la siguiente imagen.

matriz6

Para finalizar este post se van a encontrar los factores primos de 144. Eso se logra con la ejecución de nun144 = FactoresPrimos[144] que da como resultado una nueva lista, nun144 = {2, 2, 2, 2, 3, 3}, en la que se aprecia que corresponde a 24.32.

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