La involuta del círculo, el problema de la vaca que pasta y GeoGebra

En el problema 73, Capítulo II, del libro de Stewart (Multivariable Calculus), se pide mostrar que las ecuaciones paramétricas de la involuta del círculo son:

    x = r(cos θ + θ.sen θ ), y = r(sen θ – θ.cos θ)

de acuerdo a las condiciones que se presentan en la siguiente imagen (el segmento TP es tangente al círculo y al visualizar que es igual a r.θ la parametrización está resuelta):

figura2

Luego, en el problema siguiente, el enunciado señala que “una vaca está atada a un silo circular de radio r mediante una cuerda lo suficientemente larga para alcanzar el lado opuesto del silo. Encuentre el área disponible para pastoreo de la vaca”. La imagen que refiere tal situación es la siguiente:

vaca

Si graficamos la curva paramétrica en GeoGebra, nos damos cuenta que la involuta es una espiral; tal como se desprende de la siguiente imagen donde al parámetro le hemos permitido que varíe hasta 5 π.

vaca2

Sin embargo, el trozo de cuerda considerado sólo le permitiría a la vaca trazar la involuta del círculo entre 0 y π para x=f(t), y=g(t) y x=f(t), y=-g(t) (parte graficada reflejando el objeto a través del eje x); tal como se presenta a continuación en el siguiente vídeo:

La parte izquierda del silo puede ser pastoreada al máximo siguiendo simplemente un patrón circular con un círculo de radio π.r; tal como se puede observar a continuación en el vídeo:

Con estas consideraciones y en vista de que el cálculo directo con curvas paramétricas parece que no está totalmente implementado en GeoGebra (salvo la longitud de arco que si pude determinarla), me dispuse a encontrar una respuesta gráfica antes que la analítica porque ésta requiere cierto trabajo (aunque GeoGebra también determina rápidamente la primitiva de funciones).

Para ello, creé un polígono para una de las partes de la involuta del círculo. Como el GeoGebra que uso está en fase beta (la versión portable) y no es muy estable que se diga, tuve varios intentos tratando de conseguir un polígono bien poblado de puntos sin éxito. Cada vez que dragaba el ratón para ir a una nueva zona aumentada éste desaparecía; más no así los puntos. La solución final fue crear una lista con un barrido de puntos (arrastre con el ratón) y obtener el polígono fácilmente, en la línea de comandos, con Polígono[lista] (lista es la etiqueta; no requiere la secuencia extensa de los puntos). Luego copié (refleje) el polígono a través del eje x y el resto fue determinar las áreas del semi círculo y del que genera la involuta. La siguiente es la lista creada para las áreas a ser consideradas:

    lista2={polígono1, polígono1′, areasemicirculo, – Circulopequeño}

y la suma se realizó con Areapastoreable=Suma[lista2]. Esto permite determinar rápidamente valores para diferentes radios con sólo mover el deslizador para r. En la imagen se da el resultado del área para r = 1 (25,83 unidades).

vaca4

Valores de r correspondientes a 2, 3 y 4 producen áreas de 103.3, 232.43 y 413.22 unidades; respectivamente.

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