Solución analítica al área de la involuta del círculo en el problema de la vaca que pasta

En el post anterior se consideró una solución gráfica con GeoGebra para determinar el área de pastoreo útil de una vaca atada a un silo circular con una cuerda de longitud equivalente a su diámetro. El área susceptible de ser pastoreada por la vaca sigue dos patrones diferentes. A la izquierda es semi circular con radio π.r y, a la derecha, corresponde a dos involutas del círculo, entre 0 y π, donde una es el reflejo de la otra a través del eje de las abscisas. Esas áreas individuales, referidas como Polígono1 y Polígono2 respectivamente, tenían el mismo valor de 6,73.r2. Se va a emplear el cálculo de funciones paramétricas con la involuta del círculo para determinar, analíticamente, que ésta corresponde aproximadamente a 6,73.r2 entre 0 y π (no se consideran las áreas circulares porque su expresión matemática es muy obvia).

Sea A el área determinada a partir de la integral siguiente:

integral

donde x,y vienen expresadas para la involuta del círculo por las siguientes ecuaciones paramétricas:

integral1-1

Como dx = r.θ.cosθ.dθ, la sustitución en la expresión anterior resulta en:

integral1-2

Ambas integrales se pueden resolver por partes. La primera corresponde a:

integral2

y la segunda a:

integral3

Por tanto, el área total será:

integral6

que corresponde a las 6,74 unidades (en valor absoluto) por r2 que se obtuvo en el post anterior. El valor negativo aparece porque el parámetro barre el área en el sentido anti horario. Si ejecutamos en la barra de Entrada de Geogebra el siguiente comando:

    Integral[x*sin(x)*cos(x)-x**2*cos(x)**2,0,pi]

el resultado también es idéntico al obtenido analíticamente resolviendo las integrales pero en un tiempo inferior a un segundo después de pulsado ENTER. Por otra parte, si no se coloca el intervalo de integración, el resultado de la ejecución del comando anterior es la primitiva de la función con la constante igual a cero.

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Una respuesta a Solución analítica al área de la involuta del círculo en el problema de la vaca que pasta

  1. Juan Morey dijo:

    Hola!
    He llegado a este post buscando cómo calcular el área de la involuta del círculo. Enhorabuena, está muy bien explicado y he rehecho todos los pasos obteniendo el mismo resultado.

    Sin embargo, también he intentado resolver el problema de una manera más geométrica. Inscricbiendo un polígono de 2n lados en una circunferencia de radio R y después haciendo tender n al infinito. Más o menos como propone aquí:

    http://www.losexamenes.com/examenes/2513.pdf

    A pesar de no haber seguido exactamente el mismo camino, sí que llego al mismo resultado: R²(5pi³)/6 para toda el área de pastoreo, mintras que si lo hago con la integral obtengo lo mismo más pi·R², pocedente este término de los 3pi/6 que resultan de la integral al multiplicar por dos el área.

    Llevo días dándole vueltas y no veo dónde está el error y por qué las dos resoluciones me llevan a resultados distintos.

    Gracias!

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