Campos direccionales e isoclinas con GeoGebra

Para las ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir de la forma dy/dx = f(x,y), es particularmente útil una interpretación geométrica de sus soluciones. Dada que las soluciones son funciones y = f(x), sus representaciones geométricas corresponden a la gráfica de una función. Geométricamente, en cualquier punto (x,y), la pendiente dy/dx de la solución en ese punto está dada por f(x,y). Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento rectilíneo que pase por el punto (x,y) con la pendiente f(x,y). La colección de todos esos segmentos rectilíneos se llama campo direccional de la ecuación diferencial. Hacer esto manualmente es tedioso pero resulta sencillo mediante el empleo de GeoGebra.

Para ello, primero hay que introducir la función multivariable a través de la entrada de comandos. Para la ecuación diferencial f(x,y) = dy/dx = (3 – y) / 2, se tiene que f(x,y) sólo depende de y, por lo que la pendiente siempre es la misma para cada recta paralela al eje de las abscisas. Como superficie corresponde a la de un plano inclinado con relación al plano z = 0. Se introduce a través de la línea de comandos como:

    f(x,y) = (3 – y)/2

Una vez introducida, se va a emplear el siguiente comando:

    CampoDeDirecciones[<f(x, y)>, <Valor Numérico n> ]

para determinar el campo direccional. En el comando, Valor Numérico se refiere a la cuadrícula nxn deseada. El empleado con f(x,y) fue CampoDeDirecciones[ f(x, y),20] y su resultado se observa en la imagen a continuación:

campo1

Puede observarse, a partir de la figura, que las soluciones son funciones decrecientes cuando y > 3, crecientes cuando y < 3 y que parecen tender a 3 cuando x -> +∞.

Un caso más complejo lo constituye el sistema y’ = f(x,y) = (sen(x) – 2y)/x cuyo campo direccional es el siguiente:

campo2

Las soluciones tienden a cero cuando x -> +∞ o x -> -∞ y tienden a +∞ o -∞ cuando x -> 0. Una solución integral de la ecuación diferencial, para las condiciones iniciales de y(π/2) = 1, es la que se representa en verde en la siguiente imagen:

campo3

Las isoclinas (y = f(x,y) = c) para c = 0 y c = 2 se presentan en color naranja.

Finalmente, en vista 3D, se presentan las superficies:

    f(x,y) = (3 – y)/2

    f(x,y) = (sen(x) – 2y)/x

que dieron lugar a los campos direccionales que se presentaron anteriormente:

campo4

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2 respuestas a Campos direccionales e isoclinas con GeoGebra

  1. arnoldfiarn dijo:

    Interesante.

  2. Arendby dijo:

    Reblogueó esto en Blog de Arendbyy comentado:
    me sirvió mucho

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